Prozentrechnung
Hinweis: Der Autor des Artikels ist kein ausgebildeter Fachmann zum Thema. Alle hier getroffenen Aussagen sind nach bestem Wissen sowie gegebenenfalls nach persönlicher Einschätzung des Autors getroffen. Dabei ist es leider nicht auszuschließen, dass einige Angaben veraltet, irreführend oder sonstwie fehlerhaft sind. Letztendlich liegt es in der Verantwortung jedes einzelnen Lesers, die hier gemachten Angaben zu überprüfen und gegebenenfalls weitere Informationen einzuholen. Der Autor kann und will darum keine Garantie oder Haftung für Probleme oder Verluste, die trotz oder wegen der Befolgung der hier genannten Ratschläge eintreten, übernehmen. Jeder Leser hat natürlich die Möglichkeit, die folgenden Ratschläge nicht zu befolgen oder sie gar nicht erst zu lesen.
Wie rechnet man mit Prozenten?
Der folgende Artikel beschreibt, wie man nach den Rechenregeln der Prozentrechnung die Vermehrung eines Ausgangswerts nach einem bestimmten Prozentsatz berechnet. Dabei beschränkt sich dieser Text auf die einfache Prozentrechnung mit einem Vermehrungsereignis. Damit bildet der Artikel die Grundlage für den Artikel über die "Zinseszinsrechnung, der die Vermehrung über mehrere Vermehrungsereignisse beschreibt.
Inhaltsverzeichnis
Grundverständnis
Die Prozentrechnung beschreibt, wie sich ein Ausgangswert entwickelt, wenn er innerhalb eines Zeitraums mit einer festen Rate ansteigt. Die Länge des Zeitraums spielt dabei keine Rolle, weil es nur darum geht, wie groß der Ausgangswert am Anfang und die Endwert am Ende sind. Typische Beispiele für die Prozentrechnung sind Populationsentwicklungen und die Zinsrechnung. Bei der Zinsrechnung geht es um die Vermehrung von Geld, das zu einem gewissen Sparzinssatz angelegt wird. Im Folgenden soll darum die Zinsrechnung als Beispiel verwendet werden, weil sich jeder leicht etwas darunter vorstellen kann.
Üblicherweise funktioniert ein Sparkonto so, dass der Sparer dort einen Geldbetrag (den Ausgangswert) anlegt und nach einem Jahr als Belohnung dafür Zinsen bekommt. Nach einem Jahr besitzt der Sparer also einen Endbetrag, der höher ist als der Ausgangswert:
Endwert = Ausgangswert + Zinsen (Wenn man zum Beispiel 1000 Euro anlegt und dafür 30 Euro an Zinsen bekommt heißt das also: 1030 Euro = 1000 Euro + 30 Euro)
Die Zinsen sind kein fester Betrag, der für jeden Sparer gleich ist, sondern sie hängen vom Ausgangswert ab. Je mehr Geld man auf dem Sparkonto hat, desto mehr Zinsen bekommt man. Das ist logisch, denn wenn einer der 1000 Euro auf dem Konto hat, 30 Euro Zinsen bekommt, dann kann jemand, der nur 2,75 Euro auf dem Komto hat, nicht auch 30 Euro bekommen. Also je mehr Euro man spart, desto mehr Zinsen gibt es.
Da die Zinsen kein fester Betrag sind, sondern von der Ausgangsmenge abhängen, gibt man sie als Prozentwert an. Zum Beispiel kann man für sein Sparguthaben 3% Zinsen bekommen. "%" ist das Zeichen für "Prozent" und bedeutet "von Hundert". Das kennt man aus der Alltagssprache. Wenn zum Bespiel 3% eine Partei wählen würden. bedeutet das, dass 3 von hundert Menschen ihre Stimme für diese Partei abgeben würden. In der Zinsrechnung kann man auch sagen Prozent bedeutet "für Hundert", denn ein Zinssatz von 3% bedeutet, dass man 3 Euro Zinsen für hundert Euro Sparguthaben bekommt. Das heißt, für jeweils hundert gesparte Euro gibt es am Ende drei Euro Zinsen. Also wie oben schon gesagt: Je mehr Geld man auf dem Konto hat, desto mehr Zinsen.
Die Höhe der Zinsen hängt also zum einen vom Ausgangswert ab ("je mehr man spart, desto mehr Zinsen") und zum anderen vom Zinssatz ("je höher der Zinssatz, desto mehr Zinsen"). Der Zinssatz wird dabei von der Bank festgelegt. Jedoch kann der Kunde natürlich entscheiden, bei welcher Bank er sein Geld anlegt. Wenn A-Bank 2% Zinsen zahlen will und B-Bank 3% Zinsen zahlt, verdient man natürlich mehr, wenn man sein Geld bei der B-Bank anlegt.
Die Zinsrechnung beschäftigt sich also damit, wie sich Spargeld vermehrt und berechnet den Zusammenhang von Endwert, Ausgangswert und Zinsen. Die Zinsrechnung läßt sich leicht auf andere Bereiche übertragen und dann redet man von Prozentrechnung. Die funktioniert genauso wie die Zinsrechnung nur mit anderen Werten. Bei der Populationsrechnung zum Bespiel sind der Anfangswert und der Endwert keine Euro sondern Lebewesen und der Zinssatz wird dort als Vermerhungsrate bezeichnet. Die Rechnung ist jedoch die gleiche und es ist für die Berechnung total egal, ob man in Euro oder in Lebewesen rechnet.
Der Zinsfaktor
Wenn man den Ausgangswert und den Zinssatz kennt, dann kann man den Endwert ausrechnen. Dazu berechnet man zuerst die Zinsen:
Berechnung der Zinsen
Zinsen = Ausgangswert * Prozentsatz
Hierbei ist ganz wichtig zu beachten (und der häufigste Fehler, den Anfänger machen), dass die Zinsen ja in Prozent angegeben werden. Wer bei einer Bank 100 Euro zu 3% Zinsen anlegt darf also nicht rechnen:
Zinsen = 100 Euro * 3 = 300 Euro (← falsche Rechnung!)
Denn das würde ja bedeuten, dass man den dreifachen Betrag an Zinsen bekäme. Jeder, der irgendwie 10000 Euro besitzt, müsste nie wieder arbeiten, weil er ja 30000 Euro im Jahr an Zinsen bekommen würde. Keine Bank würde so viel bezahlen. Man darf nie vergessen, dass Prozent "von hundert" bedeutet. Das Prozentzeichen sagt aus, dass man durch hundert teilen muss. Die richtige Reczhnung lautet also:
Zinsen = 100 Euro * 3% = 100 Euro * 3/100 = 3 Euro (← richtige Rechnung!)
Berechnung des Endwerts
Wie oben schon mal erwähnt, ist der Endwert die Summe von Ausgangswert und Zinsen. Denn die Zinsen sind die Belohnung, die man für das Sparen bekommt und seinen Ausgangswert bekommt man am Ende natürlich wieder. Wer also 100 Euro bei einem Zinssatz von 3% spart, hat nach einem Jahr:
Ausgangswert + Zinsen = Endwert
100 Euro (das Geld, das man angelegt hat) + 3 Euro (die Zinsen, die man bekommt) = 103 Euro (das Geld, das man am Ende besitzt)
Der Zinsfaktor
Mit der obigen Rechnung kann man also eicht den Endwert berechnen. Das ist recht einfach zu verstehen und reicht in vielen Fällen aus. Der Haken ist jedoch, dass Aufgaben zur Zinsrechnung komplizierter gestellt werden. So gibt es zum Beispiel Aufgaben, bei denen Anfangswert und Endwert bekannt sind, und man den Zinsatz ausrechnen soll. Oder man läßt das Geld mehrere Jahre auf dem Konto, was zur "Zinseszinsrechnung" führt. In allen diesen Fällen bleibt die einfache Rechnung von oben zwar richtig, wird aber schnell zu unübersichtlich. Aus diesem Grund muss man einmal in den sauren Apfel beißen und einen kleinen zusätzlichen Zwischenschritt machen. Dieser Zwischenschritt ist glücklicherweise sehr einfach und kann dafür sehr viel Arbeit sparen.
Das Problem an der obigen Rechnung ist nämlich, dass man dort innerhalb einer Rechnung multiplizieren muss (nämlich den Ausgangswert mit dem Zinssatz, um die Zinsen auszurechnen) und addieren muss (nämlich Zinsen zum Ausgangswert zusammenrechnen, um den Endwert zu erhalten). Dieses Vermischen von Addieren und Multiplizieren kann man vermeiden, wenn man den Zinsfaktor berechnet. Der Zinsfaktor ist eine Zahl, mit der man den Ausgangswert multiplizieren muss, um den Endwert zu erhalten. Damit gilt:
Ausgangswert * Zinsfaktor = Endwert
Der Zinsfaktor kann direkt aus dem Zinssatz berechnet werden, wie man an der folgenden Umrechnung des obigen Beispiels sehen kann:
100 Euro + 100 Euro * 3/100 = 103 Euro (dies ist die Berechnung nach der Formel: Ausgangswert + Zinsen = Endwert)
In beiden Zahlen der Summe steckt der Ausgangswert drin (hier sind es 100 Euro). Im Ausgangswert ist der Ausgangswert sowieso enthaltem, denn er ist ja der Ausgangswert. Und in den Zinsen ist der Ausgangswert auch enthalten, denn die Höhe der Zinsen hängt ja vom Ausgangswert ab. Also kann man in der obigen Gleichung den Ausgangswert einfach ausklammern:
100 Euro * (1 + 3/100) = 103 Euro
Die Zahl in den Klammern ist der sogenannte Zinsfaktor. In diesem Fall ist er 1 + 3/100 = 1 + 0,03 = 1,03. Man kann den Zinsfaktor direkt aus dem Zinssatz ausrechnen und es gilt:
Zinsfaktor = 1 + "Zahlenwert von Zinssatz"/100.
Der Zinsfaktor ist also lediglich eine andere Beschreibung des prozentualen Zuwachses und Zinsfaktor und Zinssatz hängen direkt miteinander zusammen. Immer, wenn man einen von beiden kennt, kann man den anderen ausrechnen. Die Berechnung des Zinsfaktors nach der obigen Formel sollte man immer zuerst durchführen, da alle komplizierteren Zinsrechnungen, die unten beschrieben sind, mit dem Zinsfaktor viel einfacher zu rechnen sind. Um ein Gefühl für den festen Zusammenhang von Zinssatz und Zinsfaktor zu bekommen, sind im folgenden einige Beispiele aufgeführt:
1%: 1,01
2%: 1,02
3%: 1,03
7%: 1,07
10%: 1,1
50%: 1,5
90%: 1,9
100%: 2
200%: 3
0%: 1
1,5%: 1,015
Umgekehrt kann man aus dem Zinsfaktor auch wieder den Zinssatz berechnen, wenn das in einer Aufgabe gefordert sein sollte. Dazu muss man die Formel
f = 1 + "Zahlenwert von Zinssatz"/100
umstellen, indem man zuerst auf beiden Seiten 1 abzieht und danach beide Seiten durch 100 teilt. Dadurch ergibt sich die Formel:
"Zahlenwert von Zinssatz" = (f-1) * 100
Die verwendeten Größen
Für die Prozentrechnung gibt es allgemeingültige Formeln, die die Entwicklung der Ausgangsmenge beschreiben. Diese Formeln gelten immer, egal, welche Zahlen man in einem konkreten Fall benutzt. Weil man nicht für alle denkbaren Zahlen eine eigene Formel erstellen kann, benutzt man in den Formeln Buchstaben. Diese Buchstaben symbolisieren die beteiligten Zahlenwerte und für eine konkrete Berechnung setzt man für die Buchstaben die Zahlen für die gegebene Aufgabenstellung ein und berechnet das Ergebnis.
Welche Buchstaben man als Platzhalter für die Zahlen verwendet ist prinzipiell egal. Schließlich bleibt ein "Wischlappen" ein Wischlappen, auch wenn manche statt Wischlappen "Feudel" oder "Aufnehmer" dazu sagen. Bei den Formeln kann man allerdings leicht durcheinander kommen, wenn jemand anderes die gleiche Formel mit anderen Buchstaben verwendet. Leider kann man niemandem vorschreiben, welche Buchstaben er verwendet und so bleibt einem nichts anderes übrig als genau aufzupassen, was der Formelgeber denn mit seinen Buchstaben bezeichnet. Aus diesem Grund will ich einmal die verwendeten Größen vorstellen und sagen, welche Buchstaben ich dafür benutze:
Größenbeschreibung
A Ausgangswert
Die Menge oder der Geldbetrag, die zu Beginn, bevor die erste Vermehrung stattgefunden hat, vorhanden ist.
E Endwert
Die Menge oder der Geldbetrag, die am Ende, nachdem die letzte Vermehrung stattgefunden hat, vorhanden ist.
Z Zinssatz
Der Prozentwert, mit dem der Ausgangswert anwächst. Er wird in Prozent angegeben. "Prozent" ist lateinisch und bedeutet "von hundert". 2% ist also nichts anderes als 2/100. 2% von 10000 Euro ist also 2/100 von 10000 Euro: 10000 Euro * 2/100 = 200 Euro.
Es ist sehr wichtig, immer daran zu denken, dass "%" bedeutet, dass man noch durch 100 teilen muss. 2% sind eben nur 2 Hundertel-Bruchstücke von 10000 Euro. Wenn man jedoch nicht aufpasst und nur die "2" vor dem Prozentzeichen betrachtet (und nicht durch 100 teilt), dann hat man plötzlich, statt einem kleinen Bruchstück das Doppelte von 10000 Euro. Die "2" von "2%" ist also nur der "Zahlenwert von Z", während Z selbst (wegen dem durch 100 teilen) ein hundertel des Zahlenwerts (also 2/100 bei 2%) ist.
Verwirrend? Vielleicht etwas. Aber letztlich bedeutet das alles nichts anderes als dass 1% ein Hundertel-Bruchstück ist.
f Zinsfaktor
Der Zinsfaktor ist eine Beschreibung des prozentualen Zuwachses. Der Zinsfaktor kann also direkt aus dem Zinssatz berechnet werden.
Es gilt: f = 1 + "Zahlenwert von Z"/100.
Die Berechnung des Zinsfaktors ist eine sehr einfache Angelegenheit, die bei der Prozentrechnung sehr wichtig ist. Leider machen trotzdem viele einen Fehler bei der Berechnung, weil sie vergessen, dass die Zahl beim Zinssatz ja in % angegeben wird und darum durch 100 geteilt werden muss.
Zinsrechnung
Die Zinsrechnung beschreibt den Zusammenhang von Anfangsbetrag, Endbetrag und Zinssatz, wobei immer zwei dieser drei Größen gegeben sein müssen, um die dritte Größe auszurechnen. Als Hilfsgröße berechnet man zuerst den sogenannten Zinsfaktor, der direkt aus dem Zinssatz berechnet werden kann)
E = A * f (Eventuell benötigt man vor der Berechnung eine Zusatzrechnung, um f auszurechen: f = (1 + Z/100). Diese ist aber einfach durchzuführen.)
Berechnung des Endwerts
Um den Endwert zu bestimmen, muss in der Aufgabenstellung natürlich der Ausgangswert A und der Zinsfaktor f gegeben sein. Diese Werte setzt man dann in die Formel ein. Diese Berechnung ist die einfachste, weil man dafür die obige Formel direkt verwenden kann:
E = A * f
Eine typische Aufgabe wäre: "Wie viel Geld besitzt man am Ende, wenn man 8000 Euro zu 5,2% Zinsen anlegt?"
In diesem Fall ist der Ausgangswert A = 8000 Euro und der Zinsfaktor f = 1,052. Wenn man diese Zahlen in die Formel eingibt, ergibt sich: E = 8000 Euro * 1,052 = 8416 Euro.
Berechnung des Ausgangswerts
Um den Ausgangswert zu bestimmen, muss in der Aufgabenstellung natürlich der Endwerts E und der Zinsfaktor f gegeben sein. Diese Werte setzt man dann in die Formel ein. Für diese Berechnung muss man die Ausgangsformel umstellen. Dies tut man, indem man beide Seiten der Formel durch den Zinsfaktor f teilt. Dadurch ergibt sich die Formel:
E / f = A
Eine typische Aufgabe wäre: "Peter hat sein Geld zu 1,2% Zinsen angelegt. Am Ende besitzt er 12650 Euro. Wieviel Geld hat er angelegt?"
In diesem Fall ist der Endwert E = 12250 Euro und der Zinsfaktor f = 1,012. Wenn man diese Zahlen in die Formel eingibt, ergibt sich: E = 12650 Euro / 1,012 = 12500 Euro.
Berechnung des Zinsfaktors und des Zinssatzes
Um den Zinsfaktor f zu bestimmen, muss in der Aufgabenstellung natürlich der Endwerts E und der Ausgangswert A gegeben sein. Diese Werte setzt man dann in die Formel ein. Für diese Berechnung muss man die Ausgangsformel umstellen. Dies tut man, indem man beide Seiten der Formel durch den Ausgangswert A teilt. Dadurch ergibt sich die Formel:
E / A = f
Eine typische Aufgabe wäre: "Peter hat 2500 Euro angelegt und besitzt am Ende 2587,50 Euro. Wie hoch war der Zinssatz, den er bekommen hat?"
In diesem Fall ist der Endwert E = 2587,50 Euro und der Ausgangswert A = 2500 Euro. Wenn man diese Zahlen in die Formel eingibt, ergibt sich: f = 2587,50 Euro / 2500 Euro = 1,035. Dies entspricht einem Zinssatz Z von 3,5 %.
