Berechnung von geradlinig gleichförmiger Bewegung

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Hinweis: Der Autor des Artikels ist kein ausgebildeter Fachmann zum Thema. Alle hier getroffenen Aussagen sind nach bestem Wissen sowie gegebenenfalls nach persönlicher Einschätzung des Autors getroffen. Dabei ist es leider nicht auszuschließen, dass einige Angaben veraltet, irreführend oder sonstwie fehlerhaft sind. Letztendlich liegt es in der Verantwortung jedes einzelnen Lesers, die hier gemachten Angaben zu überprüfen und gegebenenfalls weitere Informationen einzuholen. Der Autor kann und will darum keine Garantie oder Haftung für Probleme oder Verluste, die trotz oder wegen der Befolgung der hier genannten Ratschläge eintreten, übernehmen. Jeder Leser hat natürlich die Möglichkeit, die folgenden Ratschläge nicht zu befolgen oder sie gar nicht erst zu lesen.


Wie rechnet man die Bewegung von Körpern mit gleichförmiger Bewegung?

Im folgenden Text wird die geradlinig gleichförmige Bewegung erklärt. Die Beispiele in diesem Artikel beziehen sich dabei auf einen Läufer auf einer Rennbahn. Selbstverständlich funktionieren die vorgestellten Formeln und Berechnungen entsprechend auch für alle anderen Beispiele wie zum Beispiel Autos, Flugzeuge oder beliebige andere Dinge.

Grundverständnis

Die geradlinig gleichförmige Bewegung beschreibt die Bewegung eines Körpers, der sich mit gleichbleibender Geschwindigkeit ("gleichförmig") auf einer geraden Strecke ("geradlinig") bewegt. Dabei geht es darum, zu jeder Zeit t die aktuelle Position s des Körpers berechnen zu können.

Die Formel für die geradlinig gleichförmige Bewegung lautet:

 s = s0 + v * t

Die Strecke s

Dabei bezeichnet s die aktuelle Position des Körpers. Sie wird gemessen bezüglich eines bestimmten Bezugspunkts (auch "Ausgangspunkt" genannt). Dieser kann prinzipiell beliebig gewählt sein, jedoch hat man in Aufgaben meist einen einleuchtenden Startpunkt, wie etwa die Startline bei einer Rennbahn. Die Strecke s bezieht sich immer auf diesen Startpunkt und wird in Metern (m) angegeben. Ein Wert von s=0m bedeutet, dass sich der Körper genau auf dem Startpunkt befindet. Ein positiver Wert von s gibt an, wie weit sich der Körper vom Startpunkt entfernt hat. Es sind auch negative Werte für s denkbar. In diesem Fall hat sich der Körper in die andere Richtung vom Startpunkt entfernt.

Beispiel:

  • s= 0m: Der Körper befindet sich genau auf der Startlinie.
  • s= 25m: Der Körper befindet sich in Laufrichtung gesehen 25 Meter vom Startpunkt entfernt (er ist also schon 25 Meter gelaufen)
  • s= -10m: Der Körper befindet gegen die Laufrichtung gesehen 10 Meter vom Startpunkt entfernt (er ist also in die falsche Richtung gelaufen)

Die Zeit t

Die Größe t bezeichnet die Zeit und wird in Sekunden (s) gemessen. Dabei gibt es auch für die Zeit einen Bezugszeitpunkt. Auch hier könnte man einen beliebigen Zeitpunkt als Bezugszeitpunkt wählen, in Aufgaben hat man jedoch einen einleuchtenden Startzeitpunkt, wie etwa den Zeitpunkt des Startschusses bei einem Rennen. Wie bei der Strecke kann auch die Zeit t=0s sein oder sie ist positiv oder negativ.

Beispiel:

  • t= 0s: Der Zeitpunkt des Startschusses.
  • t= 12s: Der Zeitpunkt 12 Sekunden nach dem Startschuss
  • t= -10s: Der Zeitpunkt 10 Sekunden vor dem Startschuss

Die Geschwindigkeit v

Die Geschwindigkeit v wird in Meter/Sekunde (m/s) (gesprochen: "Meter pro Sekunde") gemessen. Sie gibt an, wie schnell sich ein Körper bewegt. Diese Geschwindigkeit bleibt während der ganzen Aufgabe immer gleich (denn es handelt sich ja um eine gleichförmige Bewegung). Ein Wert von v= 0m/s bedeutet, dass die Geschwindigkeit "0" ist, also dass der Körper sich gar nicht bewegt. Ein positiver Wert bei der Geschwindigkeit gibt an, wie schnell sich ein Körper in der Laufrichtung bewegt. Auch ein negativer Wert für die Geschwindidkeit ist ebnfalls möglich. In diesem Fall bedeutet das, dass sich der Körper gegen die übliche Laufrichtung bewegt.

Beispiel:

  • v= 0m/s: Der Körper bewegt sich mit 0 m/s. Das heißt in anderen Worten: er steht vollkommen still.
  • v= 5m/s: Der Körper bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von 5 Metern pro Sekunde in die Laufrichtung
  • v= -3m/s: Der Körper bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von 3 Metern pro Sekunde entgegen der Laufrichtung

Die Startpostion s0

Die Größe s0 bezeichnet die Position eines Körpers zum Zeitpunkt t=0s. Darum hat s0 die tiefergestellte 0 im Namen. Üblicherweise wird bei einem normalen Rennen s0 = 0m sein, denn der Startzeitpunkt ist ja bei t=0s und da sollte der Läufer genau auf der Starlinie (also bei s= 0m) sein. Die Größe s0 ist daher in vielen Aufgaben tasächlich 0 und kann dann vernachlässigt werden. Sie dient jedoch dazu, wenn man berechnen muss, dass ein Körper nicht auf der Startlinie anfängt zu laufen. Das kann zum Beispiel passieren, wenn er einen Vorsprung bekommt.

Beispiel:

  • s0= 0m: Der Körper befindet sich zum Startzeitpunkt genau auf der Startlinie (so wie es eigentlich üblich ist).
  • s0= 5m: Der Körper befindet sich zum Startzeitpunkt bereits 5 Meter in Laufrichtung vom Startpunkt entfernt (er hat also einen Vorsprung von 5 Metern)
  • s0= -30m: Der Körper befindet sich zum Startzeitpunkt noch 30 Meter vor dem Startpunkt (er hat also einen Rückstand von 30 Metern)

Einfache Berechnungen

Mit der Formel s = s0 + v * t kann man die in der Aufgabe gesuchte Größe ausrechnen, wenn alle anderen Größen gegeben sind. Der erste Schritt zur Berechnung ist daher, herauszufinden, welches die gesuchte Größe ist. Anschließend schreibt man alle im Aufgabentext gegebenen Größen (Mit ihren Maßeinheiten) heraus. Falls man für die Größe s0 keinen Wert im Text findet, kann man davon ausgehen, dass es keinen Vorsprung gibt und s0=0m setzen (Die Formel vereinfacht sich dann zu : s = v * t).

Je nachdem, welches die gesuchte Größe ist, muss man die Formel umstellen, so dass die gesuchte Größe auf der einen Seite des Gleichheitszeichens steht und die gegebenen Größen auf der anderen Seite. Danach setzt man die gegebenen Größen in die Formel ein und kann die gesuchte Größe einfach ausrechnen.

Berechnung von s

Hier kann man die Basisformel verwenden. Da die gesuchte Größe s ja schon alleine auf der einen Seite steht, muss man nichts umrechnen und man verwendet einfach die Formel:

 s = s0 + v * t    (bzw. s = v * t, wenn es kein s0 in der Aufgabe gibt)

Beispiel:

Ein Körper bewegt sich mit 10m/s. Beim Start hat er einen Vorsprung von 15m. Wo befindet sich der Körper nach 20s?

s ist gesucht<br> s0 = 15m
v= 10m/s
t= 20s

s = 15m + 10m/s * 20s = 15m + 200m = 215 m.

Berechnung von t

Hier muss man die Basisformel so umstellen, dass t alleine auf einer Seite steht. Dabei ergibt sich die Formel:

 t = (s - s0) / v   (bzw. t = s / v, wenn es kein s0 in der Aufgabe gibt)

Beispiel:

Ein Körper bewegt sich mit 10m/s. Beim Start hat er einen Vorsprung von 15m. Nach welcher Zeit erreicht der Körper der 215-Meter-Marke?

t ist gesucht
s = 215m
s0 = 15m
v= 10m/s

t = (215m - 15m) / 10m/s = 200m / 10m/s = 20s

Berechnung von v

Hier muss man die Basisformel so umstellen, dass v alleine auf einer Seite steht. Dabei ergibt sich die Formel:

 v = (s - s0) / t   (bzw. v = s / t, wenn es kein s0 in der Aufgabe gibt)

Beispiel:

Ein Körper hat beim Start einen Vorsprung von 15m. Nach 20s erreicht der Körper die 215-Meter-Marke. Wie schnell ist er?

v ist gesucht
s = 215m
s0 = 15m
t= 20s

v = (215m - 15m) / 20s = 200m / 20s = 10m/s

Berechnung von s0

Die Berechnung von s0 ist die seltenste Aufgabenvariante, kommt aber vereinzelt trotzdem vor. Hier muss man die Basisformel so umstellen, dass s0 alleine auf einer Seite steht. Dabei ergibt sich die Formel:

 s0 = s - v * t

Beispiel:

Ein Körper bewegt sich mit 10m/s. Nach 20s erreicht der Körper die 215-Meter-Marke. Welchen Vorsprung hatte er in Bezug zur Startlinie?

s0 ist gesucht
s = 215m
v = 10m/s
t= 20s

s0 = 215m - 10m/s*20s = 215m - 200m = 15m

Hinweise

Einige Dinge in der Aufgabenstellung führen eventuell zu zusätzlicher Verwirrung und die haben in den meisten Fällen mit den verwendeten Einheiten zu tun. Bei den Werten, mit denen man rechnet, handelt es sich nämlich streng genommen nicht um einfache Zahlen, sondern um physikalische Größen, die außer der Zahl immer auch eine Einheit haben. Diese Einheit muss man deshalb auch immer dazu schreiben und auch mit ihnen rechnen.

Kürzen

Innerhalb der Rechnung kürzen sich die Einheiten, so dass die Ergebniseinheit der Einheit der gesuchten Größe entspricht. Allerdings kommt es immer wieder vor, dass man beim Rechnen mit den Einheiten durcheinander kommt und völlig unsinnige Einheiten errechnet. Das kann zwei Gründe haben: entweder man hat schon zu Beginn die verwendete Formel falsch benutzt, so dass dadurch falsche Einheiten herauskommen müssen oder aber die Formel ist richtig und man hat sich nur beim Rechnen mit den Einheiten geirrt. In jedem Fall sollte man die Rechnung dann noch einmal komplett durchgehen und nicht einfach die richtige Einheit hinschreiben. Denn zum einen könnte wie gesagt die Formel falsch sein zum anderen geht es immer auch um den Rechenweg. Das Hinschreiben des richtigen Ergebnisses ist meist nicht ausreichend, im Gegenteil: wenn man am Ende feststellt, dass man einen Fehler bei der Einheitenberechnung gemacht hat, sollte man das klar aufschreiben und so zeigen, dass man vielleicht zu blöd zum Rechnen ist, aber immerhin noch schlau genug ist, das zu merken.

Brüche in Brüchen kürzen

In den meisten Fällen ist das Kürzen kein Problem. Der schwierigste Fall ist zumeist das Kürzen von Brüchen, die selber in einem Bruch stehen. Die kommt in der Formel t = s / v vor. Wenn man dort zum Beispiel den Zwischenschritt: 200m / 10m/s = 20s betrachtet, dann hat man:

200 m
-----
10 (m/s)

in diesem Bruch kann man sowohl Zähler und Nenner um Sekunden (s) erweitern, ohne dass sich der Wert des Bruchs ändert:

200 m * s
-----------
10 (m/s) * s

Die (m/s) * s unter dem Bruchstrich kürzen sich dann weg zu m:

200 m * s
---------
10 m

Im letzten Schritt kann man die Meter (m) über und unter dem Bruchstrich kürzen und erhält:

200 s
-----
10

und das ist gleich 20 s.

gemischte Einheiten

In einigen Aufgaben können gemischte Einheiten auftreten. Üblicherweise rechnet man in Metern und Sekunden. Wenn aber die gegebenen Größen in anderen Einheiten gegeben sind, dann muss man sie vorher umrechnen, damit man in der Rechnung die Einheiten kürzen kann.

Beispiel:

Ein Körper bewegt sich mit 9km/h. Beim Start hat er einen Vorsprung von 15m. Wo befindet sich der Körper nach 2 Tagen?

s ist gesucht
s0 = 15m
v= 9km/h = 9000m/h = 9000m /3600 s = 2,5 m/s
t= 2d = 24h = 24 * 3600s = 86400 s

s = 15m + 2,5 m/s * 86400s = 15m + 216000m = 216015 m.

Rechnen mit zwei Körpern

Bei komplizierteren Aufgaben wird nicht allein die Bewegung eines Körpers behandelt, sondern es bewegen sich zwei Körper gleichzitig. Die Basisfrage ist dann meist, an welcher Stelle oder zu welchem Zeitpunkt sie sich treffen. Dieses Problem klingt schwieriger als es ist. Denn auch hier rechnet man mit der Basisformel und setzt dort die gegebenen Größen einfach ein. Der Trick besteht alleine darin, die Bewegungsformeln richtig zu verbinden. Diese Verbindung entsteht, weil sich die Körper ja treffen. Beim Zusammentreffen der Körper weiß man jedoch sicher, dass in diesem Moment beide Körper zur selben Zeit t am gleichen Ort s sind. Und diese Tatsache gilt auch dann, wenn man gar nicht weiß wann und wo der Zusammenprall passiert. Bei jedem Autounfall auf der Welt, weiß ich, dass sie zur gleichen Zeit am gleichen Ort waren, selbst wenn ich gar nicht weiß, wann oder wo der Unfall stattgefunden hat.

Jeder Körper bewegt sich nach der Bewegungsgleichung:

  Körper1: s = s0 + v * t
Körper2: s = s0 + v * t

Wenn sie sich treffen, dann befinden sie sich genau am gleichen Ort (selbst wenn ich gar nicht weiß, wo dieser Ort ist). Das heißt in diesem Moment hat s in beiden Gleichung den gleichen Wert und ich kann für diesen Punkt beide Formeln gleichsetzen:

 s0 + v * t = s0 + v * t

Die zusammengesetzte Formel kann man nun umstellen und erhält:

s0 - s0 = v * t - v * t

das heißt, weil die Zeit t beim Zusammentreffen ja auch gleich ist, gilt: t = t = t:

s0 - s0 = (v - v) * t

also

 t = (s0 - s0) / (v - v)

Beispiel:

Ein Körper bewegt sich mit 10m/s. Beim Start hat er einen Vorsprung von 15m. Ein anderer Körper hat beim Start einen Vorsprung von 1000m und bewegt sich mit 15m/s in die entgegengesetzte Richtung. Wann und wo treffen die Körper auf einander ?

s ist gesucht
t ist gesucht
s0 = 15m
v= 10 m/s
s0 = 1000m
v= -15 m/s (das Minuszeichen kommt daher, dass sich der zweite Körper ja in die entgegengesetzte Richtung bewegt)


t = (15m - 1000m) / ( (-15m/s) - 10m/s) = -985m / (-25m/s) = 39,4s

Nun weiß man den Zeitpunkt des Zusammenpralls. Diesen kann man jetzt in die Einzelgleichung eines beliebigen der beiden Körper einsetzen, um herauszufinden, wo sich der Körper zum Zeitpunkt des Zusammenpralls befindet:

  Körper1: s = 15m + 10m/s * 39,4s = 409m
Körper2: s = 1000m + (-15m/s) * 39,4 =409m

Damit weiß man am Ende der Rechnung wann und wo die Körper aufeinander treffen. Hinweis: auch wenn in den letzten beiden Formeln logischerweise das gleiche Ergebnis herauskommt, sollte man immer beide Formeln ausrechnen, um zu kontrollieren, ob zu der vorher berechneten Zeit beide Körper wirklich an der gleichen Position sind. Sollte das nicht der Fall sein, dann hat man einen Fehler bei der Berechnung der Zeit gemacht.


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