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Rechnen mit Unbekannten

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Wie rechnet man mit unbekannten Größen?
In der Mathematik gibt es Aufgaben, bei denen mit unbekannten Größen gerechnet werden soll. Meistens werden diese durch Buchstaben dargestellt. Dieser Artikel soll beschreiben, was diese Buchstaben bedeuten und wie man mit ihnen rechnet.


Inhaltsverzeichnis

Grundverständnis

Buchstaben sind Namen für noch nicht bekannte Zahlen

Mit Zahlen rechnen kann jeder. Vielleicht der eine besser als der andere, aber jeder weiß, dass 1 + 1 = 2 ist und dass 3 * 4 = 12 ist. Es gibt jedoch auch Rechnungen, in denen plötzlich irgendwelche Buchstaben auftauchen. Dabei handelt es sich aber nicht um eine neue Mathematik und man muss auch keine neuen Rechenregeln für Buchstaben lernen, denn die Buchstaben sind Zahlen.

Das klingt auf den ersten Blick natürlich unsinnig, aber tatsächlich bezeichnen die Buchstaben Zahlen, deren Wert man zum Zeitpunkt der Rechnung noch nicht kennt. Weil man nicht weiß, wie groß eine Zahl ist, gibt man ihr einfach irgendeinen Namen. Später, wenn der Wert bekannt ist, kann man den Namen durch den Zahlenwert ersetzen.

Wenn man zum Beispiel weiß, dass der Eintritt ins Kino 8,50 Euro kostet und man möchte mit einem Sportverein ins Kino fahren, dann weiß man in der Planungsphase oft noch nicht, wieviele Leute mitkommen wollen. Es könnte ja immer einen geben, der keine Lust hat oder jemand anders bringt noch jemanden mit. Der Planer kann in der Planungsphase den Gesamtpreis nicht berechnen, solange er die Teilnehmerzahl nicht kennt. Alle was er weiß ist:

8,50 Euro * Teilnehmerzahl = Gesamtpreis

Und tatsächlich ist das schon das ganze Geheimnis. "Teilnehmerzahl" ist zum Zeitpunkt der Berechnung eine unbekannte Größe. Man sagt meist kurz "Unbekannte" statt "unbekannte Größe". Die obere Formel ist zwar korrekt, doch kann man sie erst ausrechnen, wenn man den Zahlenwert für die Teilnehmerzahl kennt. Und wer das logisch findet, aber sich fragt, was das mit Buchstaben zu tun hat: ganz einfach. Buchstaben kommen nur deswegen ins Spiel, weil die Leute zu faul sind, jedesmal lange Worte zu schreiben. Um Zeit beim Aufschreiben zu sparen, schreiben sie einfach "t" statt "Teilnehmerzahl" und g statt "Gesamtpreis" und schon lautet die obere Formel:

8,50 Euro * t = g

Man kann sogar noch mehr Buchstaben in einer Rechnung haben. Nehmen wir einmal an, der Planer vom Sportverein hat noch nicht einmal den Preis vom Kino nachgeguckt. Bis er den Preis irgendwo nachguckt oder gesagt bekommt, wäre dann auch der Preis eine unbekannte Größe. Die obere Gleichung hätte nun drei Unbekannte:

Eintrittspreis * Teilnehmerzahl = Gesamtpreis

oder mit Buchstaben:

e * t = g

Wozu soll das gut sein?

In den meisten Fällen, will man Zahlen und keine Buchstaben, denn Buchstaben lassen sich schließlich nicht im Taschenrechner ausrechnen. Buchstaben benutzt man darum nur, wenn es sich nicht vermeiden läßt, nämlich dann, wenn man die Zahlen im Augenblick noch nicht kennt.

Nun würde man eigentlich denken: "was für ein Unsinn, dann warte ich eben, bis ich die Zahlen kenne und rechne das Ergebnis dann aus. Da brauche ich keine Buchstaben." Aber das Benutzen von Buchstaben hat zwei Vorteile. Zum einen lassen sich mit Buchstaben allgemeingültige Formeln formulieren und zum anderen kann man mit Buchstaben rechnen.

Formeln

Auch, wenn man die genauen Zahlen noch nicht kennt, drückt die Gleichung Eintrittspreis * Teilnehmerzahl = Gesamtpreis den Zusammenhang zwischen den beteiligten Größen an: sie ist eine Formel. Diese Formel gilt für alle Kinos und alle Besuchergruppen *. Das heißt, man könnte sie an alle Kinos und alle Sportvereine schicken und jeder könnte sie benutzen. Es ist quasi die Kinopreis-Formel. Immer, wenn irgendwo jemand ins Kino geht, kann er die für seinen Fall zutreffenden Größen einsetzen. Denn bei jeder Formel gilt, sobald man den Wert einer Größe kennt, kann man ihn einsetzen und der entsprechende Buchstabe fällt dafür dann weg. Je mehr Größen man kennt, desto mehr Buchstaben fallen am Ende weg. Die Buchstaben stehen da nur solange, wie man die tatsächlichen Zahlen noch nicht kennt.

*: An alle Oberschlaumeier: Bei Mengenrabatt oder Spezialgruppentarifen gilt natürlich eine andere Formel....

Es ist oft wichtig, den Zusammenhang von Zahlen zu kennen, weil man sonst nicht wissen kann, wie man rechnen muss, sobald einem die Zahlen dann bekannt sind. Und dieser Zusammenhang wird durch Formel beschrieben. Die Kinopreis-Formel ermöglicht jedem zu rechnen, ohne dass er weiß, wie Kinopreise funktionieren. Bei Kinopreisen wissen das die meisten Menschen auch so, darum wird eine Kinopreisformel eher selten gebraucht. Doch in der Physik soll man zum Beispiel die Stromstärke berechnen können, wenn der Wert für Spannung 10 V und der Widerstand 2 Ohm beträgt. Wenn man nicht weiß, wie Stromstärke, Widerstand und Spannung zusammenhängen, dann kann man das nicht berechnen. Darum gibt es eben eine Formel dafür, die den Zusammenhang beschreibt:

Stromstärke = Spannung / Widerstand

oder in Buchstaben

I = U / R

Wenn man die Formel kennt, kann man einsetzen und sie Stromstärke ausrechnen:

Stromstärke = 10 / 2 = 5 (die Einheiten sind hier weggelassen)

Mit Buchstaben kann man also Formeln erstellen, die eine Rechenvorschrift beschreiben. Jeder auf der Welt kann mit dieser Rechenvorschrift rechnen, indem er für seine persönliche Aufgabe seine passenden Zahlen einsetzt. Die Buchstaben sind nur der Platzhalter für diese Zahlen.

Rechnen mit Buchstaben

Darüber hinaus kann man tatsächlich sogar mit Buchstaben rechnen. Nehmen wir zum Beispiel noch mal unsere Kinopreisformel:

e * t = g

Jeder der e (den Eintrittspreis) und t (die Teilnehmerzahl) kennt, kann die in die Formel einsetzen und so den Gesamtpreis berechnen.

Versetzen wir uns aber jetzt in die Lage des Kassenwarts des Vereins. Weil der Verein nicht viel Geld hat, wurde auf der Vorstandssitzung beschlossen, wieviel Geld pro Teilnehmer bei einem Ausflug maximal ausgeben wird. Der Kassenwart bekommt am Ende aber nur eine Teilnehmerliste mit der Zahl der Teilnehmer (t) und eine Quittung vom Kino, auf der der Gesamtpreis (g) steht. Damit weiß er aber immer noch nicht den Eintrittspreis. Sobald er die Zahlen bekommt, kann er auch die Kinoformel benutzen und einsetzen. Sagen wir, er bekommt gesagt es waren 20 Teilnehmer und die Gesamtkosten waren 160 Euro, dann setzt er ein:

e * 20 = 160 Euro

und formt das um zu

e = 160 Euro / 20 = 8 Euro

Diese Umformung muss er jedes mal machen, wenn es einen Ausflug gab. Wenn das ein großer Verein ist, mit vielen Sparten, dann muss er sehr oft umrechnen. Darum formt er die Formel vorher um, indem er mit Buchstaben rechnet:

e * t = g

teilt er auf beiden Seiten durch t (ohne das er von einer der genannten Größen weiß wie groß sie sind) und erhält eine neue Formel:

e = g/t

Auf diese Weise hat er sozusagen die Kinopreisformel in die Buchhalterformel umgerechnet - und das komplett mit Buchstaben. Wenn er nun die Teilnehmerzahl und den Gesamtpreise erfährt, kann er das Ergebnis mit der Buchhalterformel direkt ausrechnen und muss nicht mehr jedes einzelne Ergebnis umformen.

Gleichungen mit Unbekannten

Das Beispiel mit dem Buchhalter mag einigen vielleicht zu einfach erscheinen. Doch diente es nur dazu, zu zeigen, dass Buchstaben ihren Sinn in Formel haben und dass man mit Buchstaben tatsächlich rechnen kann. Mehr sollte dieser Artikel eigentlich gar nicht erklären. Darum ist es nicht schlimm, wenn jemand das nächste Beispiel nicht mehr ganz versteht, da es etwas schwieriger ist. Doch es zeigt, wie nützlich und mächtig es sein kann, mit Buchstaben zu rechnen.

Beispiel: Ein Mobilfunkanbieter bietet zwei Tarife:

Tarif "A": Der monatliche Grundpreis ist 10 Euro. Dazu kommen 0,05 Euro pro Gesprächsminute.

Tarif "B": Es gibt keinen Grundpreis, aber eine Gesprächsminute kostet 0,10 Euro

Die Frage ist, welcher Tarif ist der günstigere? Das hängt davon ab, wieviel man telefoniert. Wer sehr wenig telefoniert, für den ist Tarif "B" billiger, weil er keine Grundgebühr zahlen muss. Wer jedoch sehr viel telefoniert, sollte besser den "A"-Tarif nehmen, weil da der Minutenpreis geringer ist. Jedoch weiß man ja noch nicht, wieviel man telefoniert. Aber es gibt eine Minutenzahl, wo beide Tarife gleich teuer sind. Auch diese Minutenzahl wissen wir nicht, aber es gibt sie. Und weil es sie gibt, können wir ihr den Namen "x" geben.

Wenn man also x Minuten telefoniert kostet:

Tarif A: 0,05 * x + 10

Tarif B: 0,10 * x

Weil x der Wert sein soll, wo beide gleich teuer sind, gilt:

0,05 * x + 10 = 0,10 * x

Wenn x irgendeine Zahl ist, die wir nicht kennen, dann ist 0,05 * x auch eine Zahl. Auch diese Zahl kennen wir nicht, weil wir ja x nicht kennen. Aber wenn wir auf beiden Seiten der Gleichung die gleiche unbekannte Zahl abziehen, wird die Gleichung trotzdem richtig bleiben:

10 = 0,10 * x - 0,05 * x = 0,05 * x

Jetzt teilen wir beide Seiten der Gleichung durch 0,05. Auch wenn wir nicht wissen, welchen Wert x hat, bleibt die Gleichung trotzdem richtig, weil wir ja auf beiden Seiten das Gleiche machen:

10 / 0,05 = (0,05 * x) / 0,05 = x

Also (wenn man die linke Seite, die ja nur aus Zahlen besteht ausrechnet):

200 = x

Die unbekannte Zahl der Gesprächsminuten muss also gleich 200 sein. Wenn man 200 Minuten telefoniert, dann sind beide Tarife gleich teuer. Wenn man mehr telefoniert ist Tarif A besser, wenn man weniger telefoniert, ist Tarif B besser.

In diesem Fall haben wir also eine unbekannte Größe selber eingeführt und mit ihr gerechnet, bis wir am Ende die Aufgabe gelöst haben.

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