Zinseszinsrechnung

Hinweis: Der Autor des Artikels ist kein ausgebildeter Fachmann zum Thema. Alle hier getroffenen Aussagen sind nach bestem Wissen sowie gegebenenfalls nach persönlicher Einschätzung des Autors getroffen. Dabei ist es leider nicht auszuschließen, dass einige Angaben veraltet, irreführend oder sonstwie fehlerhaft sind. Letztendlich liegt es in der Verantwortung jedes einzelnen Lesers, die hier gemachten Angaben zu überprüfen und gegebenenfalls weitere Informationen einzuholen. Der Autor kann und will darum keine Garantie oder Haftung für Probleme oder Verluste, die trotz oder wegen der Befolgung der hier genannten Ratschläge eintreten, übernehmen. Jeder Leser hat natürlich die Möglichkeit, die folgenden Ratschläge nicht zu befolgen oder sie gar nicht erst zu lesen.

Wie funktioniert die Zinseszinsrechnung?

Der folgende Artikel beschreibt die Zinseszinsrechnung. Sie ist eine Fortführung der "Prozentrechnung", die in einem eigenen Artikel beschrieben wird.

Grundverständnis

Die Prozentrechnung beschreibt, wie sich ein Ausgangswert entwickelt, wenn er innerhalb eines Zeitraums mit einer festen Rate ansteigt. Diese wird in einem eigenen Artikel erklärt. Die Zinseszinsesrechnung ist nun eine Erweiterung der Prozentrechnung und damit auch etwas komplizierter als diese.

Bei der Zinseszinsrechnung geht es ebenfalls um die Vermehrung eines Ausgangswerts zu einem bestimmten Zinssatz und es gelten die gleichen Größen, wie sie bei der Prozentrechnung beschrieben sind. Der Unterschied der Zinseszinsrechnung zur Prozentrechnung besteht lediglich darin, dass das angelegte Geld über mehrere Zeiträume verzinst wird. Beziehungsweise, wenn es nicht um Geld geht in der konkreten Aufgabe: dass das Wachstum über mehrere Jahre stattfindet.

Wenn man nur einen Zeitraum betrachtet, ist die Endmenge durch die Zinsen ja angewachsen und größer als die Ausgangsmenge geworden. Wenn man das Geld jedoch nicht anrührt und ein weiteres Jahr angelegt läßt, dann wird es noch einmal verzinst. Bei der zweiten Verzinsung sind am Beginn des Zeitraums ja nicht nur die ursprüngliche Ausgangsmenge vorhanden, sondern auch die Zinsen vom ersten Jahr. Beide zusammen bilden die neue Ausgangsmenge für die zweite Verzinsung: es wird also die Ausgangsmenge vom ersten Mal verzinst und die Zinsen vom ersten Jahr werden auch verzinst. Weil es im zweiten Jahr Zinsen für die Zinsen gibt, die man im ersten Jahr bekommen hat, redet man von "Zinseszinsrechnung".

Die Basisformel

Größenbeschreibung

Zu den Basisgrößen, die in der Prozentrechnung beschrieben wurden:

• A Ausgangswert
• E Endwert
• Z Zinssatz
• f Zinsfaktor

kommt jetzt noch eine weitere Größe dazu

• n Zeitraum:

Der Zeitraum ist die Anzahl der Zuwachsereignisse. Dies wird wichtig, wenn nicht nur eine Vermehrung stattfindet, sondern nach einer Vermehrung die neue Gesamtsumme weiter vermehrt wird. Wenn jemand zum Beispiel auf einem Sparkonto 10000 Euro für drei Jahre liegen läßt, erhält er dreimal Zinsen (in dem Fall wäre also n=3).

Hinweis: Zinsen werden meist jährlich gezahlt, aber es gibt auch Aufgaben, wo die Vermehrung zum Beispiel jede Woche oder sogar jede Stunde stattfindet (etwa bei der Vermehrung von Bakterien). Letztlich ist aber egal, wie lang die Vermehrungszeiträume sind. Für die Zinseszinsrechnung ist nur wichtig, wieviele Zuwachsereignisse es gibt.

Die Zinseszinsformel

Mit einer Formel kann man beschreiben, wie die einzelnen Größen in einer Rechnung miteinander zusammenhängen.

Um die Formel für die Zinseszinsrechnung zu bestimmen, nimmt man zuerst die Formel für die einfache Prozentrechnung, bei der das Geld nur einmal vermehrt wird:

E₁ = A * f

Der Endwert hat hier den Namen E₁ statt einfach nur E bekommen, weil es der Endwert nach dem ersten Jahr ist. Wenn man ein zweites Jahr betrachtet, dann hat man dort einen zweiten Endwert, der dann logischerweise E₂ heißt:

E₂ = E₁ * f

E₂ ist wieder der Ausgangswert multipliziert mit dem Zinsfaktor. Allerdings ist für das zweite Jahr der Ausgangswert nicht mehr nur A, sondern der ganze Endbetrag E₁ des Vorjahres. Diesen Endbetrag kennt man jedoch aus der ersten Formel und darum kann man die erste Formel in die zweite Formel einsetzen:

E₂ = A * f * f

Lässt man das Geld noch ein Jahr liegen ergibt sich

E₃ = E₂ * f

und wenn man da das Ergebnis für E₂ einsetzt erhält man:

E₃ = A * f * f * f

Das kann man immer wieder so machen. Das heißt, der Endbetrag nach 10 Jahren ist:

E₁₀ = A * f * f * f * f * f * f * f * f * f * f

und so weiter. Für jede Anzahl von Jahren (n) kommt genau ein "* f" dazu. Weil man jedoch bei hundert oder tausend Jahren endlos viele "* f" schreiben müsste, hat man eine Kurzschreibweise (die sogenannte "Potenzschreibweise") gefünden:

E₁₀ = A * f¹⁰

Dabei ist f¹⁰ nur eine Kurzschreibweise für: f * f * f * f * f * f * f * f * f * f. Und für hundert oder gar tausend Jahre kann man so einfach schreiben: f¹⁰⁰ oder f¹⁰⁰⁰ und jeder weiß dann, dass man eigentlich 100-mal oder 1000-mal mit f malnehmen muss.

Und wenn man die Anzahl der Jahre noch nicht kennt, dann muss man solange eben n schreiben:

E_n = A * fⁿ

Und weil E_n der wirklich endgültige Endbetrag ist, der nicht mehr vermehrt wird, lautet die Zinseszinsformel:

E = A * fⁿ

Zinseszinsrechnung

In der Zinseszinsformel kommen vier unbekannte Größen vor, deren Zusammenhang die Formel deutlich macht. Immer, wenn man drei dieser Größen kennt, kann man den fehlenden vierten Wert ausrechnen. Je nachdem muss man dazu die Formel umstellen.

fⁿ berechnen

Um den Ausdruck fⁿ auszurechen muss man ihn eigentlich wieder in eine Multiplikation umwandeln, in der man n-mal mit dem Wert f multiplizieren muss. Wenn f ein "krummer" Wert ist oder n sehr groß ist, kann das sehr arbeitsaufwendig werden. Jedoch bieten die meisten Taschenrechner eine Taste, mit der man den Wert von fⁿ direkt berechnen kann, wenn man f und n kennt. Bei den meisten Taschenrechnern heißt sie "x^y". Wenn also f=1,02 ist und n=10 gibt man ein:

1,02 x^y 10

und erhält dann als Ergebnis: 1,21899441999475713024

In der Zinseszinsrechnung muss man diese Zahl dann noch mit dem Beginn-Ausgangwert A multiplizieren (denn das steht ja so in der Zinseszinsformel) und erhält so den Endwert E. Wenn A also 1000 Euro ist, dann gilt:

E = A * fⁿ = 1000 Euro * 1,21899441999475713024 = 1218,99441999475713024 Euro oder gerundet: 1218,99 Euro

Wichtiger Hinweis: Bei der Berechnung des Endwerts muss man zuerst fⁿ berechnen und erst danach mit A multiplizieren. Ein sehr häufiger Fehler bei der Berechnung mit dem Taschenrechner ist, dass man erst mal "A * f" eintippt und dann die x^y benutzt. Das führt bei einigen Taschenrechnern aber dazu, dass A auch von der x^y-Taste betroffen wird und man bekommt meist sehr große und falsche Ergebnisse. Manchmal werden die Ergebnisse so groß, dass ein Taschenrechner das Ergebnis gar nicht mehr anzeigen kann und einen Fehler anzeigt.

Berechnung des Endwerts

Um den Endwert E zu bestimmen, müssen man A, f und n gegeben sein. Diese Werte setzt man dann in die Formel ein. Diese Berechnung ist die einfachste, weil man dafür die Zinseszinsformelormel direkt verwenden kann, in die man dann die gegebenen Werte einsetzt:

E = A * fⁿ

Eine typische Aufgabe wäre: "Wie viel Geld besitzt man am Ende, wenn man 8000 Euro zu 5,2% Zinsen vier Jahre anlegt?"

In diesem Fall ist der Ausgangswert A = 8000 Euro, der Zinsfaktor f = 1,052 und n = 4. Wenn man diese Zahlen in die Formel eingibt, ergibt sich:

E = 8000 Euro * (1,052)⁴ = 9078,35 Euro.

Berechnung des Ausgangswerts

Um den Ausgangswert zu bestimmen, müssen man E, f und n gegeben sein. Für diese Berechnung muss man die Ausgangsformel umstellen. Dies tut man, indem man beide Seiten der Formel durch fⁿ teilt. Dadurch ergibt sich die folgende Formel, in die man dann die gegebenen Werte einsetzt:

A = E / fⁿ

Eine typische Aufgabe wäre: "Peter hat sein Geld drei Jahre lang zu 1,2% Zinsen angelegt. Am Ende besitzt er 106120,80 Euro. Wieviel Geld hat er angelegt?"

In diesem Fall ist der Endwert E = 106120,80 Euro, der Zinsfaktor f = 1,012 und n = 3. Wenn man diese Zahlen in die Formel eingibt, ergibt sich:

A = 106120,80 Euro / (1,02)³ = 100000 Euro.

Berechnung des Zinsfaktors und des Zinssatzes

Um den Zinsfaktor f zu bestimmen, müssen man A, E und n gegeben sein. Für diese Berechnung muss man die Ausgangsformel umstellen. Dies tut man, indem man beide Seiten der Formel durch den Ausgangswert A teilt. Dadurch ergibt sich die folgende Formel:

fⁿ = E / A

Nun muss man noch auf beiden Seiten die sogenannte n-te Wurzel ziehen um statt fⁿ den Wert f zu erhalten:

f = ⁿ√_{(E / A)}

Im Taschenrechner gibt es dazu die Taste "^y√_x". Um zum Beispiel ³√_1,092727 zuberechnen tippt man ein: 1,092727 ^y√_x 3. Und erhält als Ergebnis 1,03. Falls der Taschenrechner so ein Zeichen nicht hat, kann man stattdessen "^1/n" rechnen. Dazu tippt man für das gegebene Beispiel: 1,092727 x^y (1/3) und erhält ebenfalls 1,03 als Ergebnis. Ohne Taschenrechner läßt sich die n-te Wurzel von normalen Menschen nicht ausrechnen.

Eine typische Aufgabe wäre: "Peter hat 20000 Euro für drei Jahre angelegt und besitzt am Ende 21854,54 Euro. Wie hoch war der Zinssatz, den er bekommen hat?"

In diesem Fall ist der Endwert E = 21854,54 Euro, der Ausgangswert A = 20000 Euro und n=3. Wenn man diese Zahlen in die Formel eingibt, ergibt sich: f = ³√_{(21854,54 / 20000)} = 1,03. Dies entspricht einem Zinssatz Z von 3%.

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